欧拉—伯努利梁理论

课程 钢筋混凝土结构
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背景

欧拉—伯努利梁理论(Euler–Bernoulli beam theory)亦称工程梁理论或经典梁理论，是针对梁的弹性线性理论的简化形式，用于梁的承载力及变形计算。它只考虑了梁承受横向荷载时的小变形情况。因此，它实际上是铁莫申科梁理论(Timoshenko beam theory)的特殊情况。

该理论是先后由雅各布·伯努利(Jacob Bernoulli )和莱昂哈德·欧拉(Leonhard Euler)
先后积累形成的，于 1750 年被完整提出，但直到19世纪末埃菲尔铁塔和菲利斯轮建造时才被广泛应用。在成功验证后，它很快成为工程界的基石和第二次工业革命的推动者。它的其它数学模型也发展了板理论，但梁理论的简化形式成为结构和力学工程中的重要工具。

长期以来伽利略(Galileo Galilei)被公认为是梁理论的最早探索者，但最近的研究表明达芬奇 (Leonardo da Vinci)才是首次做出重要观察的人，他指出了中性层(neutral axis)这个重要概念。但达芬奇没有虎克定律和微积分的理论基础，致使他无法成功取得突破。而伽利略因为错误的假设也止步不前。

欧拉-伯努利梁方程

欧拉─伯努利梁方程内容描述了梁在小变形条件下横向变形与载重的关系：

\dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2} \Big(EI \dfrac{\mathrm{d}^2\ \omega(x)}{\mathrm{d} x^2} \Big) = q(x) \label{eq1} \tag{1}

当 EI 为常数时，亦有：

EI \dfrac{\mathrm{d}^4\ \omega(x)}{\mathrm{d} x^4} = q(x) \label{eq2} \tag{2}

式中：
\omega 梁的横向变形，即挠度
x 梁纵向坐标，即延梁长方向坐标
EI 梁的抗弯刚度
E 材料弹性模量
I 梁截面抗弯惯矩
q 横向分布荷载
I = \iint z^2 \mathrm{d}y\ \mathrm{d} z \tag{3}

应用

  • 欧拉-伯努利梁方程揭示了梁横向变形和荷载之间的关系。将方程 \eqref{eq1} 或 方程 \eqref{eq2} 做积分，即可得到在某种荷载作用下梁的横向变形。见： Beam Deflection Tables。
  • 不仅如此，欧拉-伯努利梁方程还包含了挠度和内力弯矩和剪力之间的关系，即：
EI \dfrac{\mathrm{d}^2\ \omega(x)}{\mathrm{d} x^2} = M(x) \label{eq4} \tag{4}
EI \dfrac{\mathrm{d}^3\ \omega(x)}{\mathrm{d} x^3} = Q(x) \label{eq5} \tag{5}
  • 方程 \eqref{eq4} 或 方程 \eqref{eq5} 分明表明截面弯矩和剪力分别是挠度的二阶微分和三阶微分量。
  • 从几何上可知，梁变形与曲率关系为：
\dfrac{\mathrm{d}^2\ \omega(x)}{\mathrm{d} x^2} = \dfrac{1} {\rho(x) } \label{eq6} \tag{6}

则有曲率与弯矩关系：

\dfrac{1}{\rho(x) }= \dfrac{M(x)}{EI} \label{eq7} \tag{7}
  • 从几何上可知，梁截面应变与曲率关系为：
\varepsilon(z,x) = \dfrac{z}{\rho(x)} \label{eq8} \tag{8}

方程 \eqref{eq8} 表明，截面某点正应变和该点距离中性轴距离成正比，这也是平截面假设的另一种描述。

  • 假设材料为线弹性体，可知截面正应力：\sigma(z,x) = E \varepsilon(z,x) ，则有：
\sigma(z,x) = \dfrac{M(x) z}{EI} \label{eq9} \tag{9}

方程 \eqref{eq9} 表明，线弹性材料受弯梁的正应力分布和应变一样，通常称为：三角形应力图形。虽然这个结论现在看起来很自然，但最早以应力分布呈三角形为假设，推导出了正确的悬臂梁受弯公式的，是一位法国数学家： Antoine Parent。此时欧拉-伯努利梁方程还没有被提出来。

  • 由于梁截面的轴力合力为零，即： \int \sigma(z,x)\ \mathrm{d} A(x) = 0 ，可知：
\int \dfrac{M(x) z}{EI} \mathrm{d} A(x) = \dfrac{M(x) }{EI} \int z\ \mathrm{d} A(x) = 0 \label{eq10} \tag{10}

方程 \eqref{eq10} 表明，对于线弹性材料梁，中性轴位于静矩为零的位置，即截面静矩中心。

参照