- Shinozuka, M. (1983). Basic Analysis of Structural Safety. Journal of Structural Engineering, ASCE.
Masanobu Shinozuka（篠塚正宣） 在 1960–1970 年代将概率论与随机过程理论系统应用于土木工程结构分析，是结构可靠度理论的早期开创者之一。
好的，我们一步步解释这段推导过程。它展示了一个带等式约束的最小化问题，并通过**拉格朗日乘子法（Lagrange multiplier method）**来求解。
问题定义
最小化：
\gamma_0 = (x^T x)^{1/2}
\tag{17}
约束条件：
g_1(x) = 0
\tag{18}
也就是说，我们要找到满足 ( g_1(x)=0 ) 的向量 ( x )，
使得它的长度 ( (x^T x)^{1/2} ) 最小。
换句话说：
在满足约束的条件下，找到距离原点最近的点。
拉格朗日函数
引入拉格朗日乘子 ( \lambda )，构造：
[
L = (x^T x)^{1/2} + \lambda g_1(x)
\tag{19}
]
其中第一项是目标函数，第二项是约束条件的惩罚项。
一阶最优条件
令偏导为零（即满足 KKT 条件）：
[
\frac{\partial L}{\partial x} = 0,\quad \frac{\partial L}{\partial \lambda} = 0
]
分别计算：
[
\frac{\partial L}{\partial x} = \frac{x}{(x^T x)^{1/2}} + \lambda \frac{\partial g_1(x)}{\partial x} = 0
]
[
\frac{\partial L}{\partial \lambda} = g_1(x) = 0
]
设：
[
G_* = \frac{\partial g_1(x_)}{\partial x}
]
为约束函数在最优点 ( x_ ) 处的梯度。
于是可以写成：
[
\frac{x_}{\gamma} + \lambda^ G_* = 0
]
即：
[
x_* = -\lambda^* \gamma G_*
\tag{20}
]
代回约束方程
将 (20) 式代入约束条件：
[
g_1(x_) = g_1(-\lambda^ \gamma G_*) = 0
]
若约束是线性的（例如 ( g_1(x) = G_^T x - 1 = 0 )），则：
[
G_^T x_* = 1
]
代入 ( x_* = -\lambda^* \gamma G_* )：
[
G_^T (-\lambda^ \gamma G_) = 1
]
[
-\lambda^ \gamma (G_^T G_) = 1
]
从而得出：
[
\lambda^* = \pm (G_^T G_)^{-1/2}
\tag{21}
]
结果含义
- ( x_* = -\lambda^* \gamma G_* )：最优解方向沿着约束梯度 ( G_* )
- ( \lambda^* )：约束对目标函数的敏感度
- ( (G_^T G_)^{-1/2} )：与约束梯度的范数有关
物理意义上：
这是在约束面上找到离原点最近的点。
当 ( g_1(x)=0 ) 是线性超平面时，最小距离就是超平面到原点的垂线距离。